miércoles, 18 de noviembre de 2015

¿CUANDO UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR OTRO?

¿CUANDO UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR OTRO?

Hemos aprendido los criterios de divisibilidad conociendo las reglas que permiten, con solo conocer algunas características numéricas del número a dividir (el dividendo), saber si la división entre el número que hace divisor (que frecuentemente es primo) es exacta o no.
Cuando decimos por ejemplo que si un número se divide exactamente entre tres o es múltiplo de tres, la suma de sus cifras también debe ser múltiplo de tres, por ejemplo: 65721 sumamos sus cifras         6+5+7+2+1 =21  múltiplo de tres (21 contiene varias veces al tres, en este caso 7 veces) con esto afirmamos, sin realizar toda la división entre tres, que el resultado no tendrá residuo o será igual a cero.
¿Pero como se obtienen estas reglas? La respuesta es que debemos conocer dos ideas fundamentales para trabajar con los números naturales: la descomposición polinómica y las propiedades de los múltiplos.

Empecemos por la primera, cuando se descompone polinomicamente un número (mejor dicho numeral que es la representación simbólica del número), cada una de las cifras se multiplicará por la base correspondiente, en nuestro caso trabajamos en el sistema decimal pero se deja abierto la posibilidad de hacerlo en cualquier otra base, también no hay que olvidar que las bases estarán afectadas por un exponente, que se colocarán en forma consecutiva empezando con la base que multiplica a la última cifra de la derecha siendo el exponente cero y después uno, dos, etc. finalmente estos términos se adicionan pero no se suman, es decir, se deja indicado las operaciones entre los términos. 

 Ejemplo:
819 = 8x102 + 1x101 + 9x100

Las propiedades de los múltiplos son las operaciones que se realizan utilizando la notación:  















La explicación es que las propiedades indican “como” es el resultado, no “cuánto” es, sino su característica como múltiplo por ejemplo:

16 + 18 =34





Bien ahora iremos a formular un criterio de divisibilidad, es decir, una regla para saber que características tendrá un número para que pueda dividirse exactamente por otro. Consideremos por ejemplo la divisibilidad por tres.




Ahora realizamos su descomposición polinómica:


Lo que  indica que es suficiente que la suma de las cifras sea múltiplo de tres para que todo el número sea también múltiplo de tres y por tanto divisible por tres.

El criterio de divisibilidad por tres se enuncia frecuentemente de esta manera: “para que un número sea divisible por tres, la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de tres”  

Para concluir, los criterios de divisibilidad sirven para simplificar el proceso de la división en el sentido de encontrar residuo o no, para muchos cálculos matemáticos de simplificación, es decir conocer si el número tiene algún factor primo en común con el número que se está dividiendo y de esa forma eliminar dicho factor y hacer más sencilla la operación.  

Aquí les dejo una aplicación interesante:
¿Sabes que día de la semana naciste?

Una forma de conocer ese día es la siguiente:

























Esto significa:
Que desde el día que nació hasta el día de su cumpleaños en este año han transcurrido varias semanas y un día, por lo tanto vemos el calendario el 28 de marzo del 2015 es sábado y con esto deducimos que nació un día viernes.

Compruébelo con esta web:


sábado, 7 de noviembre de 2015

RELACIÓN DE PERTENENCIA Y DE INCLUSIÓN EN CONJUNTOS

RELACIÓN DE PERTENENCIA Y DE INCLUSIÓN EN 
CONJUNTOS

Para poder entender y solucionar los problemas de relación de pertenencia y de inclusión en la teoría conjuntos, debemos considerar  los conceptos preliminares de notación de un conjunto, elemento y por último que es un subconjunto y como se obtiene.

Es importante considerar que la notación de un conjunto ocurre cuando una letra mayúscula (convencionalmente las primeras del abecedario) es usada para que el conjunto sea reconocido como tal; deducimos que las letras minúsculas, números, símbolos, figuras, etc. corresponden a los elementos que son parte del conjunto.
Por ejemplo:

Vemos que hay dos formas de denotar un conjunto: con la letra mayúscula y agrupando sus elementos entre signos de colección (llaves) separándolos por comas o punto y coma (en caso de los números) 

Ahora abordaremos la idea de relación de pertenencia, esta es una relación exclusiva entre elementos y conjunto, es decir, solo es posible entre estos dos entes matemáticos.

Continuamos explicando que es un subconjunto, en el gráfico se han agrupado algunos elementos dentro del diagrama:


El agrupar uno o varios elementos de un conjunto, nos permite tener la idea de subconjunto y el no agrupar ningún elemento infiere la idea de subconjunto vacío que siempre estar incluido en cualquier conjunto.


Aprovechando que ya sabemos cómo se denota un conjunto (o subconjunto por ser un conjunto, en este caso especial) nos damos cuenta que los subconjuntos no tienen una  letra mayúscula representativa por lo tanto
Debemos denotarlos de la otra forma, agrupando sus elementos entre llaves y tendríamos:








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