El Istikmal de Al Mutamán

La entrada 82 del segundo volumen (1851) del catálogo Codices Orientales Bibliothecae Regiae Hafniensis [Hafnia en latín es Copenhague], pags.64-67, describe un manuscrito árabe y comienza así:

Códice in folio, 128 hojas de papel oriental fuerte y antiguo, en caracteres africanos bien escritos, pero muy deteriorado por polillas. Contiene en buena parte libros matemáticos, sobre aritmética, geometría y estereometría. El nombre del autor se ignora. Aunque está escrito en una hoja sin numerar al principio del libro: “Euclides”, ello no es verdad. Este libro estaba dividido en dos géneros de disciplinas matemáticas, ambos géneros incluyen varias especies, divididas a su vez en varias especies, cuyas partes son llamadas secciones…

Jan Hogendijk descubrió que ese manuscrito pertenece a la misma obra que dos fragmentos conservados en Leiden y El Cairo, y, sobre 1984, con Ahmed Djebbar, que esa obra es el Kitab al Istikmal, o Libro de la Perfección, del príncipe matemático, y luego rey de Zaragoza, Yusuf Al Mutamán Ibn Hudtambién conocido en la historia de España como Al Mutamín.
El descubrimiento fue importante porque hasta entonces no se conocía ninguna copia del Istikmal.

Hogendijk afirma que “el Istikmal es una de las obras más largas, si no la más larga, sobre matemáticas puras en toda la tradición antigua y medieval”.

El siguiente diagrama de Hogendijk muestra la estructura de secciones del Istikmal. Cada bloque de la fila “sections” es una sección y las barras de las filas K,L y C,D indican las porciones de la obra que se conservan en los manuscritos de Copenhague (K), Leiden (L) y Cairo (C,D).

He añadido la situación del hoy mal llamado teorema de Ceva, situado al final del bloque blanco apuntado por la flecha roja (es el último teorema de la segunda sección de la subespecie ‘N31′). Al Mutamán demuestra este teorema combinando dos aplicaciones del teorema de Menelao.

Pocos años después del descubrimiento del Istikmal, Ahmed Djebbar observó que una obra de Ibn Sartaq (siglo XIV), que se conserva en dos manuscritos en El Cairo y Damasco, es una versión del Istikmal de Al Mutamán, que permite completar las partes que faltan en el manuscrito oriental 82 de Copenhague.

TOMADO DE: http://apolonio.es/guirnalda/el-istikmal-de-al-mutaman/

Ángulo recto focal (II)

Del argumento de la entrada anterior podemos concluir que el segmento HK que resulta de proyectar sobre la directriz una cuerda focal CD desde un punto P de la cónica subtiende un ángulo recto desde el foco:

Vimos en la entrada anterior que de la propiedad foco-directriz y de Euclides VI.3 se obtiene que FH es bisectriz externa del ángulo DFP. De la misma forma FK es bisectriz externa del ángulo CFP.

Como CFP y DFP son complementarios, esas bisectrices son perpendiculares.

TOMADO DE:http://apolonio.es/guirnalda/angulo-recto-focal-ii/

Ángulo recto focal

En los Elementos de Euclides (proposición VI.3) se demuestra que, si D está en el segmento BC, AD es bisectriz del ángulo BAC si y solo si BD/CD = BA/CA.

La recta AE, perpendicular a AD, será entonces bisectriz del ángulo externo en A y como AB,AC,AD,AE son una cuaterna armónica de rectas, su sección B,C,D,E será una cuaterna armónica de puntos y por tanto BD/CD = BE/CE, y AE es bisectriz del angulo externo en A si y solo si BE/CE= BA/CA.

Si P es un punto de una cónica (definida como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco F y a una directriz están en una razón dada) y R es la intersección de la tangente a la cónica en P con la directriz, entonces el ángulo PFR es recto.

Porque si PQ es una cuerda de una cónica y R su intersección con la directriz, por la definición foco-directriz PF/QF = PR/QR y por tanto FR es, por la proposición anterior, bisectriz externa del ángulo PFQ.
Como la bisectriz interna del ángulo es perpendicular a la externa, cuando Q coincide con P la cuerda PQ se convierte en la tangente, y el ángulo RFP será recto.

Como consecuencia, las tangentes a una cónica en los extremos de una cuerda que pasa por el foco se cortan en la directriz, y por tanto la directriz es la polar del foco respecto a la cónica.

TOMADO DE:http://apolonio.es/guirnalda/angulo-recto-focal/