Conceptos de Precálculo I; Trigonometría, Discovery

NÚMEROS TRANSFINITOS

NÚMEROS TRANSFINITOS

George Cantor conceptuó a un conjunto de la siguiente manera: “Es una colección de objetos concretos o abstractos definibles y distinguibles considerada como un todo”. A la definición le falta la formalidad necesaria para poder construir el verdadero edificio de la Teoría de Conjuntos, esta falencia lo hicieron ver, en su tiempo, muchos matemáticos notables, enfatizando la generalidad de la idea de conjunto y las inexactitudes que tenía para ser considerada como una verdadera definición.

Cantor tenía una obsesión por el infinito, y buscó la manera de poder demostrar que los diferentes conjuntos de números infinitos tenían la misma cantidad de elementos y también demostró que el conjunto de los números reales no es numerable; la base para él fue el conjunto de los enteros positivos con el cual pudo comparar los demás conjuntos: pares, impares, ´primos, etc. A esa comparación se le conoce como correspondencia biunívoca, es decir, uno a uno, elemento a elemento y tuvo como antecedente lo que había pensado Galileo, al encontrar esa correspondencia entre los números enteros positivos y sus cuadrados.

Ese inicio sirvió a Cantor para definir el conjunto infinito: “…es aquel que se puede poner en correspondencia uno a uno con alguna de sus partes”, claramente nos damos cuenta que esta definición entra en contradicción con el axioma de Euclides: “El todo es más grande que sus partes”, para Cantor este axioma no afectaba a las cantidades infinitas.

La forma de realizar esta comparación es la siguiente:

Primero: Números naturales y números pares

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	…..

Segundo: Números naturales y números enteros

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Enteros	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10	-11	…..

Tercero: Números naturales y números primos

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	…..

En el caso de los números racionales, la demostración fue más que ingeniosa

Se desdoblan las fracciones siguiendo las flechas y considerando solo una de las que son equivalentes (1/1; 2/2; 3/3; ….)

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	…..
Números racionales	1/1	2/1	1/2	1/3	3/1	4/1	3/2	2/3	1/4	1/5	5/1	6/1	5/2	4/3	3/4	…..

Para demostrar que los reales no son numerables Cantor uso un método muy ingenioso para lo cual acotó la demostración en un intervalo <0> y ordeno en forma aleatoria, es decir, al azar. Para hacerlo ejemplar tomaremos los decimales sin orden estricto:

Cantor para realizar su demostración formó un número decimal haciendo lo siguiente:

Tomó el primer decimal del primer número decimal, luego el segundo decimal del segundo número decimal, después el tercer decimal del tercer número decimal, y así sucesivamente. Las cifras decimales consideradas para formar este nuevo número decimal se encuentran encerradas en círculos en la tabla anterior.

Entonces el número decimal formado sería: 0,20187631…. pero, como podemos asegurar que no se encuentra en la lista, sería imposible. La solución que encontró Cantor a este problema fue así: modificando cada cifra del número formado para que no coincida con ninguno de los números anteriores y lo hizo muy sencillo aumentado aumentó en uno el valor de cada cifra (en caso que sea 9 se cambiaría a 0) aplicando se obtendría: 0,31298742…, con lo cual al compararlo con el primer número de la lista no sería igual porque hemos modificado la primera cifra, también no sería igual al segundo porque la segunda ha sido modificada, y así con la tercera, con la cuarta, etc. Y se llegaría a demostrar que el número obtenido no estaría en la lista.